树-基础概念
更新时间 2021-07-16 17:39:11    浏览 0   

TIP

本文主要是介绍 树-基础概念 。

树型结构是一类非常重要的非线性数据结构,其中以树和二叉树最为常用。在介绍二叉树之前,我们先简单了解一下树的相关内容。

#

树 是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它具有以下特点:每个节点有零个或多个子节点;没有父节点的节点称为 根 节点;每一个非根节点有且只有一个 父节点 ;除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树。

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# 树的结构

# 二叉树基本概念

# 定义

二叉树是每个节点最多有两棵子树的树结构。通常子树被称作“左子树”和“右子树”。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

# 相关性质

二叉树的每个结点至多只有2棵子树(不存在度大于2的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。

二叉树的第i层至多有2(i-1)个结点;深度为k的二叉树至多有2k-1个结点。

一棵深度为k,且有2^k-1个节点的二叉树称之为 满二叉树 ;

深度为k,有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中,序号为1至n的节点对应时,称之为 完全二叉树 。

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# 三种遍历方法

在二叉树的一些应用中,常常要求在树中查找具有某种特征的节点,或者对树中全部节点进行某种处理,这就涉及到二叉树的遍历。二叉树主要是由3个基本单元组成,根节点、左子树和右子树。如果限定先左后右,那么根据这三个部分遍历的顺序不同,可以分为先序遍历、中序遍历和后续遍历三种。

# 先序遍历

若二叉树为空,则空操作,否则先访问根节点,再先序遍历左子树,最后先序遍历右子树。

# 中序遍历

若二叉树为空,则空操作,否则先中序遍历左子树,再访问根节点,最后中序遍历右子树。

# 后序遍历

若二叉树为空,则空操作,否则先后序遍历左子树访问根节点,再后序遍历右子树,最后访问根节点。

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给定二叉树写出三种遍历结果

# 树和二叉树的区别

(1) 二叉树每个节点最多有2个子节点,树则无限制。

(2) 二叉树中节点的子树分为左子树和右子树,即使某节点只有一棵子树,也要指明该子树是左子树还是右子树,即二叉树是有序的。

(3) 树决不能为空,它至少有一个节点,而一棵二叉树可以是空的。

上面我们主要对二叉树的相关概念进行了介绍,下面我们将从二叉查找树开始,介绍二叉树的几种常见类型,同时将之前的理论部分用代码实现出来。

# 二叉查找树

# 定义

二叉查找树就是二叉排序树,也叫二叉搜索树。二叉查找树或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: (1) 若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;(2) 若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;(3) 左、右子树也分别为二叉排序树;(4) 没有键值相等的结点。

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典型的二叉查找树的构建过程

# 性能分析

对于二叉查找树来说,当给定值相同但顺序不同时,所构建的二叉查找树形态是不同的,下面看一个例子。

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不同形态平衡二叉树的ASL不同

可以看到,含有n个节点的二叉查找树的平均查找长度和树的形态有关。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉查找树蜕变为单支树,树的深度为n,其平均查找长度(n+1)/2(和顺序查找相同),最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和log2(n)成正比。平均情况下,二叉查找树的平均查找长度和logn是等数量级的,所以为了获得更好的性能,通常在二叉查找树的构建过程需要进行“平衡化处理”,之后我们将介绍平衡二叉树和红黑树,这些均可以使查找树的高度为O(log(n))。

# 二叉树的节点

class TreeNode<E> {

    E element;
    TreeNode<E> left;
    TreeNode<E> right;

    public TreeNode(E e) {
        element = e;
    }
}

二叉查找树的三种遍历都可以直接用递归的方法来实现:

# 先序遍历

protected void preorder(TreeNode<E> root) {

    if (root == null)
        return;

    System.out.println(root.element + " ");

    preorder(root.left);

    preorder(root.right);
}

# 中序遍历

protected void inorder(TreeNode<E> root) {

    if (root == null)
        return;

    inorder(root.left);

    System.out.println(root.element + " ");

    inorder(root.right);
}

# 后序遍历

protected void postorder(TreeNode<E> root) {

    if (root == null)
        return;

    postorder(root.left);

    postorder(root.right);

    System.out.println(root.element + " ");
}

# 二叉查找树的简单实现

/
 * @author JackalTsc
 */
public class MyBinSearchTree<E extends Comparable<E>> {

    // 根
    private TreeNode<E> root;

    // 默认构造函数
    public MyBinSearchTree() {
    }

    // 二叉查找树的搜索
    public boolean search(E e) {

        TreeNode<E> current = root;

        while (current != null) {

            if (e.compareTo(current.element) < 0) {
                current = current.left;
            } else if (e.compareTo(current.element) > 0) {
                current = current.right;
            } else {
                return true;
            }
        }

        return false;
    }

    // 二叉查找树的插入
    public boolean insert(E e) {

        // 如果之前是空二叉树 插入的元素就作为根节点
        if (root == null) {
            root = createNewNode(e);
        } else {
            // 否则就从根节点开始遍历 直到找到合适的父节点
            TreeNode<E> parent = null;
            TreeNode<E> current = root;
            while (current != null) {
                if (e.compareTo(current.element) < 0) {
                    parent = current;
                    current = current.left;
                } else if (e.compareTo(current.element) > 0) {
                    parent = current;
                    current = current.right;
                } else {
                    return false;
                }
            }
            // 插入
            if (e.compareTo(parent.element) < 0) {
                parent.left = createNewNode(e);
            } else {
                parent.right = createNewNode(e);
            }
        }
        return true;
    }

    // 创建新的节点
    protected TreeNode<E> createNewNode(E e) {
        return new TreeNode(e);
    }

}

// 二叉树的节点
class TreeNode<E extends Comparable<E>> {

    E element;
    TreeNode<E> left;
    TreeNode<E> right;

    public TreeNode(E e) {
        element = e;
    }
}

上面的代码15主要展示了一个自己实现的简单的二叉查找树,其中包括了几个常见的操作,当然更多的操作还是需要大家自己去完成。因为在二叉查找树中删除节点的操作比较复杂,所以下面我详细介绍一下这里。

# 二叉查找树中删除节点分析

要在二叉查找树中删除一个元素,首先需要定位包含该元素的节点,以及它的父节点。假设current指向二叉查找树中包含该元素的节点,而parent指向current节点的父节点,current节点可能是parent节点的左孩子,也可能是右孩子。这里需要考虑两种情况:

  1. current节点没有左孩子,那么只需要将patent节点和current节点的右孩子相连。
  2. current节点有一个左孩子,假设rightMost指向包含current节点的左子树中最大元素的节点,而parentOfRightMost指向rightMost节点的父节点。那么先使用rightMost节点中的元素值替换current节点中的元素值,将parentOfRightMost节点和rightMost节点的左孩子相连,然后删除rightMost节点。
    // 二叉搜索树删除节点
    public boolean delete(E e) {

        TreeNode<E> parent = null;
        TreeNode<E> current = root;

        // 找到要删除的节点的位置
        while (current != null) {
            if (e.compareTo(current.element) < 0) {
                parent = current;
                current = current.left;
            } else if (e.compareTo(current.element) > 0) {
                parent = current;
                current = current.right;
            } else {
                break;
            }
        }

        // 没找到要删除的节点
        if (current == null) {
            return false;
        }

        // 考虑第一种情况
        if (current.left == null) {
            if (parent == null) {
                root = current.right;
            } else {
                if (e.compareTo(parent.element) < 0) {
                    parent.left = current.right;
                } else {
                    parent.right = current.right;
                }
            }
        } else { // 考虑第二种情况
            TreeNode<E> parentOfRightMost = current;
            TreeNode<E> rightMost = current.left;
            // 找到左子树中最大的元素节点
            while (rightMost.right != null) {
                parentOfRightMost = rightMost;
                rightMost = rightMost.right;
            }

            // 替换
            current.element = rightMost.element;

            // parentOfRightMost和rightMost左孩子相连
            if (parentOfRightMost.right == rightMost) {
                parentOfRightMost.right = rightMost.left;
            } else {
                parentOfRightMost.left = rightMost.left;
            }
        }

        return true;
    }

# 平衡二叉树

平衡二叉树又称AVL树,它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:它的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

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平衡二叉树

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1,所以它也被称为高度平衡树,n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

# 红黑树

红黑树是平衡二叉树的一种,它保证在最坏情况下基本动态集合操作的事件复杂度为O(log n)。红黑树和平衡二叉树区别如下:(1) 红黑树放弃了追求完全平衡,追求大致平衡,在与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下,保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡,实现起来也更为简单。(2) 平衡二叉树追求绝对平衡,条件比较苛刻,实现起来比较麻烦,每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知。

# 参考文章

  • https://www.jianshu.com/p/230e6fde9c75
更新时间: 2021-07-16 17:39:11
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